AR - Lesson 11

Indice

1. Processi di diffusione in presenza di Compatibilità
- 1.1. Analisi

Lezioni predenti collegate:

1 Processi di diffusione in presenza di Compatibilità

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come un gioco di coordinazione molto semplice possa portare ad una vasta quantità di domande e relative analisi non banali. Una prima generalizzazione è stata passare da un modello omogeneo, in cui tutti i nodi traevano uno stesso vantaggio dall'adottare una nuova tecnologia A, ad uno eterogeneo, in cui ciascun individuo ricava un personale guadagno dall'adottare l'innovazione.

In tutti i modelli analizzati però si assumeva la mutua esclusione degli stati A-B. In un contesto reale però succede spesso che due stati coesistono in un individuo. Ad esempio, A e B potrebbero essere lingue diverse che coesistono lungo un confine nazionale, oppure A e B potrebbero essere due applicazioni di messaggistica differenti.
Infatti gli individui che si trovano al confine tra un'area in cui prevale A ed una in cui prevale B, conviene adottare entrambi gli stati: ovvero essere in qualche modo "bilingua".

Adottare però due stati contemporaneamente può comportare un costo aggiuntivo non trascurabile. Un individuo sceglie di utilizzare entrambi i comportamenti disponibili, barattando la maggiore facilità di interazione con persone di più tipi, contro il costo di dover acquisire e mantenere entrambe le forme di comportamento (cioè i costi di dover imparare una lingua aggiuntiva, mantenere due diverse versioni di una tecnologia e così via …).

Un'oservazione da fare riguardo il costo del "bilinguismo", è che tale effort¹ viene pagato una sola volta. Perciò, se si è in contatto con tanta gente nello stato A ed altrettanta nello stato B, potrebbe convenire adottare il doppio stato AB, in qunato il guadagno ricavato sarebbe molto maggiore dell'unico costo che pago nell'avere il doppio stato: il gioco ne vale la candela.

Modellando in maniera più formale, possiamo definire un nuovo coordination game in accordo alla seguente tabella

Figura 1: Nuovo coordination game con opzione di doppio stato (bilingua).

dove con \((a,b)^+\) si indica il massimo tra \(a\) e \(b\).

Indichiamo ora con \(V_A, V_B, V_{AB}\) l'insieme dei nodi negli stati A, B e AB rispettivamente, i quali compongono una partizione dell'insieme \(V\) di tutti gli individui. Perciò, fissando con \(c \geq 0\) il costo di adozione del doppio stato AB, possiamo dire che il guadagno complessivo del nodo \(u\) che adotta AB è pari a \[ \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_A} a\Big) + \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_B} b\Big) + \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_{AB}} (a,b)^+\Big) - c \]

Indichiamo quindi con \(p_A(u), p_B(u), p_{AB}(u)\) i rispettivi guadagni che ha il nodo \(u\) nell'assumere gli stati A, B o AB come segue

\begin{align*} p_A(u) &= \sum_{v \in N(u) \cap V_A} a + \sum_{v \in N(u) \cap V_{AB}} a \\ p_B(u) &= \sum_{v \in N(u) \cap V_B} b + \sum_{v \in N(u) \cap V_{AB}} b\\ p_{AB}(u) &= \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_A} a\Big) + \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_B} b\Big) + \Big(\sum_{v \in N(u) \cap V_{AB}} (a,b)^+\Big) - c \end{align*}

Per rendere meglio le idee consideriamo un esempio. Consideriamo ancora una volta la catenta infinita \(\mathbb{Z}\), e poniamo come parametri \((a,b,c) = (5,3,1)\). Supponiamo di partire da un solo nodo iniziatore \(u\), e senza perdita di generalità consideriamo solamente lo sviluppo del porcesso alla sua destra (tanto a sinistra è simmetrico).

Prendiamo il nodo \(v\) alla usa destra. I suoi guadagni nell'essere negli stati A, B e AB saranno

\begin{align*} p_A(v) &= 5\\ p_B(v) &= 3\\ p_{AB}(v) &= 5+3-1 = 7 \end{align*}

Perciò a \(v\) converrà diventare bilingua e adottare il doppio stato AB.

Consideriamo ora il succesivo nodo \(w\) sulla destra. I suoi guadagni saranno

\begin{align*} p_A(w) &= 5\\ p_B(w) &= 3+3 = 6\\ p_{AB}(w) &= 5+3-1 = 7 \end{align*}

Perciò anche a \(w\) converrà passare ad AB.

Adesso, la situazione rispetto a \(v\) è cambiata, in quanto ora ha un vicino nello stato A ed uno nello stato AB. Infatti anche i suoi guadagni sono ora cambiati, e risultano essere

\begin{align*} p_A(v) &= 10\\ p_B(v) &= 3\\ p_{AB}(v) &= 5+5-1 = 9 \end{align*}

perciò ora \(v\) passa nello stato A.

È facile convincersi che si genera una cascata completa di A.

Figura 2: \((a,b,c) = (5,3,1)\) e \(V_0 = \lbrace u \rbrace\).

Analizzeremo ora il processo di diffusione nel nuovo modello con compatibilità, e cercheremo di capire in quali situazioni si ha una cascata completa.

1.1 Analisi

Dalle precedenti lezioni sappiamo che nel modello omogeneo, A non si diffonde su reti infinite di grado finito se la sua soglia d'adozione è \(q > \frac{1}{2}\), ovvero se \(a\) non è almeno pari al valore di \(b\).
Uno studio di Kleinberg del 2007 ha invece dimostrato uno strano comportamento riguardo il modello con compatibilità, ovvero che:

A si diffonde facilmente se \(a\) è parecchio più grande di \(c\) (ragionevole)
A fa fatica a diffondersi se \(c\) è parecchio grande rispetto ad \(a\) (ragionevole)
A fa fatica a diffondersi anche se \(c\) non è molto grande rispetto ad \(a\) (strano)

Analizziamo cosa succede nella rete infinita più semplice, la catena infinita \(\mathbb{Z}\).

Dato che fare un'analisi su tre parametri \(a,b,c\) risulta molto complessa, conviene normalizzare \(b\) ad 1, e quindi descrivere il processo solo in funzione di \(a(b) = a\) e \(c\). Perciò, in questo modello semplificato (ma non meno espressivo) la soglia d'adozione di A sarà \[ q(b) = q = \frac{1}{a+1} \]

Consideriamo la situazione in cui c'è un unico nodo iniziatore \(x\). Il suo vicino \(u\) avrà un vicino in \(V_A\) e l'altro in \(V_B\).

Figura 3: Il nodo \(u\) deve scegliere quale stato conviene adottare.

Avremo che i guadagni nell'adottare uno stato sono

\begin{align*} p_A(u) &= a\\ p_B(u) &= 1\\ p_{AB}(u) &= a + 1 - c \end{align*}

Sicuramente \(u\) assume A se \(p_A(u) \geq p_B(u)\) e se \(p_A(u) \geq p_{AB}(u)\)

\begin{equation} \begin{cases} p_A(u) \geq p_B(u)\\ p_A(u) \geq p_{AB}(u) \end{cases} \implies \begin{cases} a \geq 1\\ c \geq 1 \end{cases} \end{equation}

Invece, \(u\) rimane nello stato B se \(p_B(u) > p_A(u)\) e se \(p_B(u) > p_{AB}(u)\)

\begin{equation} \begin{cases} p_b(u) \geq p_A(u)\\ p_b(u) \geq p_{AB}(u) \end{cases} \implies \begin{cases} a < 1\\ a < c \end{cases} \end{equation}

Infine, \(u\) adotta il bilinguismo AB se \(p_{AB}(u) > p_A(u)\) e se \(p_{AB}(u) \geq p_B(u)\)

\begin{equation} \begin{cases} p_{AB}(u) > p_A(u)\\ p_{AB}(u) \geq p_B(u) \end{cases} \implies \begin{cases} c < 1\\ c \leq a \end{cases} \end{equation}

Possiamo riassumere tutto in un grafico con assi \(a\)-\(c\).

Figura 4: Grafico \(a\)-\(c\).

Dalle precedenti osservazioni possiamo trarre due prime conclusioni:

se il nodo \(u\) rimane nello stato B, allora la diffusione di A è bloccata e non potrà mai più procedere in alcun modo.
se \(u\) invece passa direttamente allo stato A, allora certamente avverrà una cascata completa di A in maniera diretta, senza transitare mai per AB.

Resta ora da capire che succede se \(u\) passa allo stato AB. In tal caso, avremo che il nodo \(v\) avrà un nodo vicino nello stato AB e uno nello stato B, come nella seguente immagine

Figura 5: Il nodo \(v\) deve scegliere quale stato conviene adottare.

Dato che stiamo assumendo che \(u\) è ricaduto nella zone verde del grafico, fissiamo le relazioni \(c < 1\) e \(c \leq a\). Ci chiediamo ora:

Per quali valori la diffusione di A si blocca?
Oppure, per quali valori si genera una cascata completa di A?
Oppure ancora, è possibile che si generi una cascata completa di AB?

Iniziamo col calcolare i vantaggi che avrebbe \(v\) ad adottare uno stato

\begin{align*} p_A(v) &= a\\ p_B(v) &= 2\\ p_{AB}(v) &= \max{\lbrace a, 1 \rbrace} + 1 - c \end{align*}

A questo punto possiamo dividere l'analisi in due casi:

\(a < 1\), ovvero quando la coppia \((a,c)\) cade all'interno del triangolo verde \((0,0), (1,0), (1,1)\).
\(a \geq 1\), ovvero quando la coppia \((a,c)\) cade all'interno della restante area verde.

Consideriamo il caso (1). In tale situazione avremo che i rispettivi guadagni sono

\begin{align*} p_A(v) &< 1\\ p_B(v) &= 2\\ p_{AB}(v) &= 2 - c \end{align*}

ovvero avremo che \(p_A(v) < p_B(v)\) e \(p_{AB}(v) < p_B(v)\). In tal csaso accadrà che \(v\) adotta B, e quindi la diffusione di A si blocca dopo un'altro passo. Possiamo quindi estendere la parte blu del grafico come nell'immagine seguente

Figura 6: Estensione area blu.

Non resta che considerare il caso (2), quando \(a \geq 1\).

Anche in questo caso conviene dividere l'analisi in due casi disgiunti: il caso \(1 \leq a < 2\) e il caso \(a > 2\). Nel \(a > 2\) avremo che i guadagni di \(v\) sono

\begin{align*} p_A(v) &= a > 2\\ p_B(v) &= 2\\ p_{AB}(v) &= a + 1 - c > a \end{align*}

Possiamo dire \(v\) adotterà AB, perché abbiamo la catena di disuguaglianze \(p_{AB}(v) > p_A(v) > p_B(v)\). Dopo un passo osserviamo che il nodo \(u\) passa dalla stato AB allo stato A. Possiamo quindi concludere che quando quando sono vere le seguenti condizioni, dopo una fase transitoria allo stato AB, avviene una cascata completa di A. \[

\begin{cases} c < 1\\ a > 2 \end{cases}

Infine, consideriamo l'ultimo caso \(1 \leq a < 2\). In queste condizioni, i valori di guadagno di \(v\) risultano essere

\begin{align*} p_A(v) &= a < 2\\ p_B(v) &= 2\\ p_{AB}(v) &= a + 1 - c \end{align*}

Dato che \(p_A(v) < p_B(v)\), sappiamo che in qeull'area il processo di diffusione di A si ferma, e quindi non avremo mai una cascata completa di A. Poi, \(p_B(v) > p_{AB}(v)\) se e solo se \(2 > a + 1 - c\), ovvero se \(a < c + 1\). In tal caso \(v\) adotterà lo stato B, e in un altro passo verrà bloccato il processo di diffusione di A. Viceversa, se \(a > c + 1\), allora avremo che \(p_{AB}(v) > p_B(v)\), e quindi \(v\) adotterà lo stato AB. Come prima, dopo un passo il nodo \(u\) adotterà A, e così via dopo il nodo \(v\), scatenando una cascata completa di A, dove però tutti i nodi transitano prima per AB.

Il grafico risultante finale è il seguente

Riassumendo:

quando la coppia \((a,c)\) cade nell'area blu, allora il processo di diffusione di A si blocca definitivamente in un passo.
quando la coppia \((a,c)\) cade nell'area gialla, si scatena una cascata completa di A, senza che nessun nodo transiti mai attraverso lo stato AB.
quando la coppia \((a,c)\) cade nell'area verde, tutti i nodi passeranno allo stato A dopo però essere prima transitati attraverso lo stato AB.

Note a piè di pagina:

sforzo.