Algebra Universale - Lesson 01
Indice
1 Definizione (provvisoria) di Struttura Algebrica
Un'algebra è una coppia \((A, F)\) dove:
- \(A \neq \emptyset\) è un inseme
- \(F = (f_1, f_2, ..., f_k)\) è un insieme di operazioni sull'insieme \(A\) di arietà \(n\) -aria \[ \forall f \in F \;\;\; \exists n \in \mathbb{N} : \\ f: A^{n} \rightarrow A \\ (a_1, a_2, ..., a_n) \mapsto a_m \in A \]
In un'algebra si considerano anche delle costanti \(c \in A\), le quali possono anche essere definite come funzioni di \(F\) di arietà 0-aria \[ c : A^0 \rightarrow A \\ c() = c \in A \] N.B:
- Le funzioni \(f \in F\) considerate sono totali, ovvero sempre definite. Esiste anche un' A.U. che studia le algebre parziali con la presenza di funzioni non totali.
- Non verranno considerate strutture ulteriori (altre algebre…)
- Verrà considerato un \(n \in \mathbb{N}\) sempre finito.
- Verrano considerate operazioni \(f\) solamente interne, ovvero \(A\) deve essere chiusa rispetto alle operazioni in \(F\).
e.g.
- il prodotto scalare tra due vettori non è una operazione interna a uno spazio vettoriale \(V\) in qunato il risultato è un numero realte \[ \langle , \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \]
- il prodotto tra sclare e vettore nemmeno è interno in qunato si vuole (per definizione di \(F\)) che le operazioni siano applicabili in \(V^n\) \[ \cdot : \mathbb{R} \times V \rightarrow V \]
- il prodotto vettoriale è invece una funzione interna a uno spazio vettoriale \(V\) \[ \times : V^2 \rightarrow V \]
2 Esempi di strutture algebriche
Di seguito alcuni esempi di strutture algebrice.
2.1 Gruppi
Un gruppo è una coppia \((G, \circ)\) dove:
- \(G \neq \emptyset\)
- \(\circ\) è una operazione binaria con le seguenti proprietà:
- proprietà associativa: \(\forall a,b,c \in G\) vale che \[ a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \]
- esistenza di un elemento neutro: \(\exists e \in G\) detto elemento neutro per \(\circ\) tale che \(\forall a \in G\) vale che \[ a \circ e = e \circ a = a \]
- esistenza elemento inverso: \(\forall a \in G \;\;\; \exists a^{-1} \in G\) tale che \[ a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e \]
Se l'operatore \(\circ\) è anche commutativo allora il gruppo si dice commutativo (o abeliano).
2.2 Semigruppo
Un semigruppo è una coppia \((G, \circ)\) tale che \(G\) è un inseme e \(\circ\) è un'operazione binaria su \(G\) che gode della sola proprietà associativa.
2.3 Anello
Un anello è un insieme \((A, +, \cdot)\) dove valgono le seguenti proprietà:
- \((A,+)\) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0, ovvero
- \(a + (b + c) = (a+b) + c\)
- \(a+0 = 0+a = a\)
- \(\forall a \in A\) esiste un elemento inverso \(-a \in A\), ovvero tale che \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)
- \((A, \cdot)\) è un semigruppo, ovvero vale la proprietà associativa su \(\circ\) \[ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \]
- L'operazione \(\cdot\) (moltiplicazione) è distributiva risetto a \(+\) (somma) \[ a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \\ (a+b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \]
Degli esempi di anelli possono essere \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\) o \((\mathbb{R}, +, \cdot)\)
2.4 Spazio Vettoriale
Come abbiamo visto in precedenza l'insieme \((V, +, \cdot)\) non può essere una struttura algebrica sullo spazio vettoriale \(V\) in quanto l'operazione \(\cdot\) non è interna. Si potrebbe perciò aggirare questo problema definendo un anello nel seguente modo. \[ (V, +, \lambda_k)_{k \in \mathbb{K}} : \forall k \in \mathbb{K} \\ \lambda_k : V \rightarrow V \\ \vec{v} \mapsto k \cdot \vec{v} \;\;\; \forall \vec{v} \in V \]
2.5 Quasigruppo
Un quasigruppo è un un insieme \((Q, *)\) simile a un semigruppo, dove \(Q\) è un insieme non vuoto e \(*\) è una operazione binaria interna che riespetta la seguente proprietà:
\(\forall a,b \in Q\) distinti tra loro, esiste una unica soluzione al seguente sistema
L'unica soluzione è spesso scritta nella seguente notazione
\begin{cases} x = a \backslash b \\ y = b / a \end{cases}